Cuadrados Mágicos

LOS CUADRADOS MÁGICOS: Un cuadrado mágico es la disposición de números naturales en un cuadrado, de forma tal que ” la suma de los números por columnas, filas o diagonales sea la misma " la constante mágica. Su orden es el número de filas o de columnas

EJEMPLOS DE CUADRADOS MÁGICOS EN EL ARTE:

■ El cuadrado mágico de Alberto Durero, de orden 4, tallado en su obra Melancolía ( se encuentra encima de la cabeza y del ala izquierda del ángel ) está considerado el primero de las artes europeas, su constante mágica es 34, ( como se observa en la ampliación de la derecha ) Esa constante también se encuentra si sumas : a) Las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado ( por rectas que unen los puntos medios de los lados) b) Los números de las esquinas. c) Los cuatro números centrales. d) Los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última. e) etc. Siendo las dos cifras centrales de la última fila 1514 el año de ejecución de la obra.

■ En la fachada de la Pasión de la Sagrada Famila de Barcelona , hay otro cuadrado mágico esculpido, de constante mágica 33, la edad de Jesucristo en la Pasión.

Es parecido al anterior aunque hay repeticiones numéricas ( obdervamos dos veces el número 10 y dos veces el 14 ).

Si visitáis Barcelona, no olvidéis buscarlo.

RESUELVE CUADRADOS MÁGICOS Colocar los números del 1 al 9 en la tabla de 3x3 de la izquierda de manera que la suma de los números de cada fila, columna y diagonal dé siempre el mismo resultado, sin repetir ningún número

Hypatia: una de las primeras matemáticas

Nació en Alejandría, era hija de Teón matemático , astrónomo y profesor del Museo que se preocupó de darle una buena formación introduciéndola en los fundamentos de las matemáticas, astronomía y filosofía, en una época en que era impensable que una mujer se apartara del papel de esposa y madre.

Centró sus investigaciones matemáticas en la geometría de Euclides ( 325 – 265 a.C.) y en la aritmética de Diofanto (200? - 284?d.C.). Fue autora de un libro sobre las cónicas de Apolonio ( 262 – 190 a.C. ) , muy leído entre los matemáticos, y de unas Tablas Astronómicas sobre movimientos de astros, muy utilizadas en aquella época.

Era defensora del heliocentrismo (teoría que defiende que la tierra gira alrededor del sol). Contribuyó a la invención del astrolabio ( instrumento antiguo para medir el ángulo entre el horizonte y una estrella o planeta.) y de diversos instrumentos de medición... .. como el higrómetro, el aerómetro, un aparato para destilar agua,....

Viajó por Italia y Atenas donde perfeccionó sus conocimientos, y al volver a Alejandría fue profesora durante 20 años en el Museo, del que fue elegida su directora , alrededor del año 400. Enseñó matemáticas, astronomía, lógica, filosofía,... de todas partes del mundo llegaban estudiantes para aprender de ella.

El Museo era una institución, centro del saber griego, con siete siglos de antigüedad , y era visto en aquella época como un importante foco de paganismo.

Hypatia era el símbolo del ideal griego porque reunía sabiduría, belleza, razón y pensamiento filosófico y además era una mujer científica y con un papel político importante.

En el año 412, siendo Cirilo ( 376 – 444), patriarca cristiano de Alejandría , luchador infatigable contra la herejía y el paganismo, el Museo sufrió un incendio. Se generó un clima y un ambiente de odio y fanatismo hacia Hypatia, su directora, tachándola de hechicera y bruja pagana. Tres años después fue asesinada por fanáticos religiosos ya que ella era

499 aniversario del matemático y navegante Urdaneta

Hoy 30 de noviembre, como vemos en la viñeta de Forges publicada en El País, Andrés de Urdaneta, matemático, científico, geógrafo, navegante, ... celebra su 499 cumpleaños.
¡¡¡ FELICIDADES!!!

Andrés de Urdaneta, nació en Ordizia el 30 de noviembre de 1508, recibió una esmerada educación, especialmente en ciencias exactas, además de otras disciplinas. Con sólo 17 años embarcó por primera vez. El 24 de septiembre de 1559 Felipe II ordenó establecer una ruta estable entre México y Filipinas, en la primera expedición iba Andrés de Urdaneta como experto náutico y científico. Para consolidar el dominio de Filipinas era necesario tener una ruta de vuelta desde Filipinas atravesando el Pacífico hasta Nueva España ( México). Cinco intentos anteriores de tornaviaje habían fracasado y Urdaneta era el hombre clave para resolver el desafío. La expedición de ida zarpa, al mando de Legazpi, el 21 de noviembre de 1564 del puerto de La Navidad, en Nueva España siguiendo una de las tres alternativas propuestas por Urdaneta. Urdaneta dio pruebas sobradas de la precisión de sus cálculos y su conocimiento del inmenso Pacífico, llegaron a las islas Filipinas el 13 de febrero. El regreso de Filipinas a México en 1565 marcó un hito en la historia de la navegación. Se trataba del viaje más largo, 7.644 millas, navegando por una ruta desconocida, de los realizados hasta entonces. Se inició el 1 de junio de 1565 y gracias a los conocimientos matemáticos aplicados a la navegación de Andrés de Urdaneta, se culminó con éxito el 8 de octubre de 1565 fue llamada la "Ruta de Urdaneta" o el "Tornaviaje" .

No sólo se deshizo el extendido mito de su imposibilidad, sino que fue un tornaviaje rápido y sin contratiempos, en el que nada se improvisó. Los frutos directos de aquel viaje perduraron hasta marzo de 1815 en que zarpó el último galeón de Manila; los indirectos, se siguen materializando en una de las principales rutas marítimas del mundo moderno.

Matemáticas y Tratado de Tordesillas

El 7 de junio de 1494 se firmó el Tratado de Tordesillas , en virtud del cual , Isabel y Fernando , reyes de Castilla y Aragón y Juan II rey de Portugal, establecían un reparto de las zonas de conquista y anexión del nuevo mundo mediante una línea divisoria del Océano Atlántico y de los territorios adyacentes.
A Castilla le correspondían todos los territorios situados más allá de 374 millas al Oeste de las islas de Cabo Verde.
El problema vino a la hora de determinar donde quedaba la línea divisoria entre ambos territorios.
Cuando se trata de calcular la latitud Norte-Sur no hay ningún problema, pues, no hay más que medir el ángulo que forma la estrella Polar con la horizontal. Entonces conociendo el arco de circunferencia descrito se tiene el desplazamiento Norte-Sur.
Ahora bien, para medir la longitud Este-Oeste no existe ninguna estrella que sirva de referencia.. Los Reyes Católicos plantearon el problema de encontrar la línea divisoria impuesta en el Tratado de Tordesillas a un matemático mallorquín llamado Joaquín Ferrer, que propuso la siguiente solución basada en sus conocimientos trigonométricos. En un triángulo rectángulo con un ángulo de 45º los catetos miden lo mismo. Lo que se expresa diciendo que la tangente trigonométrica del ángulo de 45º es 1. Así que para obtener un cateto horizontal de 374 millas se partiría de las islas de Cabo Verde con un ángulo de 45º respecto al paralelo con dirección Noroeste. Se navegaría en línea recta (por la hipotenusa del triángulo) observando siempre el desplazamiento Norte-Sur, y cuando éste sea de 374 millas hemos llegado a la línea divisoria decidida en el tratado.
Como se ve el razonamiento es muy simple y factible , pero, los Reyes Católicos no creían en la Trigonometría y lo resolvieron del modo siguiente: tomaron 20 marineros de cada parte, Castilla y Portugal, los más honestos y responsables y se hicieron a la mar desde Cabo Verde. Cada uno indicaría por donde pasaba la línea divisoria en su opinión y se calcularía la media de las 40 opiniones.
El nivel de las matemáticas de la primera potencia mundial da una idea del estado de las matemáticas por aquella época

Matemáticas y Arte

Pablo Palazuelo ( 1916- 2007 )

El 3 de octubre de 2007 sufrimos la pérdida de un notable artista madrileño y universal: Pablo Palazuelo. Pintor, escultor, grabador... fue, sin lugar a dudas, un artista con mayúsculas . Su obra destaca al abrir nuevas vías para la abstracción, utilizando formas geométricas en su expresión artística. Entre 1933 y 1936 vivió en Inglaterra, donde realizó estudios en el Royal Institute of British Architects de Oxford pero , pronto abandona sus estudios y se dedica plenamente a la pintura. En el año 1948, llega a París donde tiene contacto con la obra de grandes artistas del momento (Kandinsky, Klee, Chillida, Mondrian...). en 1952 obtiene el Premio Kandinsky Allí construye un estilo propio que le lleva al reconocimiento internacional, exponiendo en las mejores galerías y museos del mundo.
Su obra, pulcra y minuciosa, desemboca en una concepción de tipo geométrico muy personal, y se caracteriza por una depuradísima técnica y un admirable sentido del color, constantes estas que estarán siempre presentes a lo largo de toda su carrera
En 1969 vuelve a España, en 1982 obtuvo la medalla de Oro de las Bellas Artes ,en el año 1999 el Premio Nacional de Artes Plásticas y en el 2004 obtiene el Premio Velázquez (el Cervantes de las Artes Plásticas) por su magnífica trayectoria artística.
Palazuelo es conocido como el “ Poeta de la Geometría” que se sorprende y emociona ante los patrones geométricos que aparecen en la Naturaleza. Esta emoción también nos sigue embargando cuando nos maravillamos de cómo la geometría, y la matemática en general, describen el mundo físico que nos rodea , desde lo microscópico hasta lo astronómico.
“ ...En la corteza de esos árboles vi una serie de dibujos que se habían ido transformando de forma siempre distinta, de arriba abajo del tronco. Eran formas preciosas y geométricas, formaban una serie que yo podía entender ... es como las conchas y los caracoles, que son pura geometría...”“...Cuando descubrí que la geometría es lo que está en el fondo de la vida, que es lo que la construye, ¿cómo iba a pensar que la geometría es fría? ¿Es fría una flor, una semilla, un caracol maravilloso de la playa? ¿Es fría una estrella de mar? La geometría no es fría; lo será la geometría escolar, ésa donde algunos se han quedado”.
¿No sería posible que nuestros alumnos disfrutasen de la geometría? ¿Que sintiesen emoción ante una demostración geométrica o matemática?
Debemos alejarnos de la percepción de la geometría como una enumeración de figuras, muchas planas y, algunas en el espacio, con un conjunto de propiedades aburridas.
¿Podrán nuestros alumnos, como le pasaba a Pablo Palazuelo, emocionarse ante la belleza geométrica de la naturaleza?

Solución problema de la T.I.A.

Leonard Euler

Leonard EULER “el Mozart de las matemáticas”
2007 Tercer centenario de su nacimiento

Fue uno de los más grandes y prolíficos matemáticos de todos los tiempos. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea ( Suiza ) y murió en San Petesburgo ( Rusia )
Contribuyó a asentar la mayor parte de la notación y terminología que hoy utilizamos.

Introdujo la letra e para los logaritmos Neperianos (1731),e hizo extensivo el uso de la letra de π para la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro en “Introducción al calculo infinitesimal” (1748)

También a él se le debe la letra i para representar a

y encontró la relación de estos tres números con el 0 y el 1 en la maravillosa fórmula:

FÓRMULA DE EULER

También a él se le debe la utilización de f(x) para representar una función de x y el símbolo S para el sumatorio
En cualquier figura de muchas caras o poliedro, Euler demostró que “el número de aristas más dos es siempre igual al número de vértices más el número de lados” .

La fórmula es : e + 2 = v + s
Puedes comprobarla en un cubo. Aunque es válida para formas geométricas complejas, como la de la figura de 240 lados siempre tiene 360 aristas y 122 vértices

A Euler se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos
en cualquier campo del saber. Se cuenta que él mismo decía que su lápiz parecía sobrepasarlo en inteligencia, por la gran facilidad con que fluían de él sus escritos. La mayor parte de su obra está sin publicar. En 1911 se comenzó a recopilar ,el proyecto inicial se planeaba sobre 887 títulos, trabajos, memorias,... en 72 volúmenes, pero en la actualidad estas cifras han sido ampliamente rebasadas.
Habrás observado que tanto en secundaria como el bachillerato constantemente utilizamos sus notaciones, terminología e incluso algún teorema

¿ Qieres ser un gran matemático?

Construye una sucesión de números de la siguiente forma:
1º.- Elige un número cualquiera para el primer término de la sucesión
2º.- El segundo término de la sucesión se construye:
a) Si el número elegido es par lo dividimos entre dos
b) Y si es impar lo multiplicamos por tres y le sumamos la unidad y así sucesivamente hasta llegar al 1 donde la sucesión se para. ( Si continuásemos caeríamos en un ciclo: 4, 2, y volveríamos al 1)
Ejemplos:
a) 24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
b) 17, 52, 26, 13, 40 20, 10 5, 16, 8, 4, 2, 1

Hasta hoy, todos los ejemplos de sucesiones acaban en 1. Pero, no se ha podido demostrar que todas estas sucesiones deban acabar en el 1 para todo número elegido en primer lugar.
Es decir, que puede existir un número inicial tal que la sucesión que genera no llegue al 1
PRUEBA Y ENCUENTRA ese número y entrarás en el libro de oro de las matemáticas.
Esta conjetura fue propuesta en 1937 por Lothar Collatz se la conoce también por: “ EL PROBLEMA 3X + 1 “.

Un espía en la T.I.A.

Un espía “ se cuela “ en el Cuartel General de la T.I.A. y quiere acceder a los datos de su Ordenador Central, pero no sabe la contraseña. Tiene una sólo oportunidad, si falla , el ordenador se autodestruye.

Se esconde y observa:

Llega el primer agente, enciende el ordenador y en la pantalla aparece el 18, entonces, el agente pulsa la tecla del 9 y accede a sus datos.
Llega el segundo agente, aparece en la pantalla un 8, ve que pulsa la tecla del 4, y el ordenador permite el acceso.
Llega un tercero, aparece el 14, pulsa el 7 y accede a los datos.

Como cree conocer la contraseña, el espía enciende el ordenador, y aparece un 10, pulsa la tecla del 5 y el ordenador se autodestruye,
¿ Qué tecla debería haber pulsado para acceder a los datos secretos?

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